PDF-версии: 
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если 
а площадь треугольника AKC равна 
Решение. а) Точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, значит, треугольники AKH и BKH равны, и
Треугольники ABC и 
подобны по двум углам, поэтому 
Следовательно,
б) Пусть 
Тогда 
получим уравнение 
откуда 
Используем равенство 
тогда 
откуда 
Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник 
Тогда
Ответ: 
Примечание Решу ЕГЭ.
Мы отредактировали п. б) задания. В авторской формулировке «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если 
а площадь треугольника AKC равна 108», приводящей к ответу 4,8, задание было некорректным. Как указал нам Олег Ренёв из Санкт-Петербурга: «из решения следует, что стороны треугольника CAK равны 12, 15 и 18. Но тогда косинус угла CAK, вычисленный по теореме косинусов, будет равен 0,75, а не 0,6. Условие задачи содержит противоречивые данные».
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |