Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если 
а площадь треугольника AKC равна 
а) Точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, значит, треугольники AKH и BKH равны, и 
Треугольники ABC и 
подобны по двум углам, поэтому 
Следовательно,
б) Пусть 
Тогда 
получим уравнение 
откуда 
Используем равенство 
тогда 
откуда 
Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник 
Тогда
Ответ: 
Примечание Решу ЕГЭ.
Мы отредактировали п. б) задания. В авторской формулировке «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если 
а площадь треугольника AKC равна 108», приводящей к ответу 4,8, задание было некорректным. Как указал нам Олег Ренёв из Санкт-Петербурга: «из решения следует, что стороны треугольника CAK равны 12, 15 и 18. Но тогда косинус угла CAK, вычисленный по теореме косинусов, будет равен 0,75, а не 0,6. Условие задачи содержит противоречивые данные».
Из решения следует, что стороны треугольника CAK равны 12, 15, 18, но тогда косинус угла CAK (вычисленный по теореме косинусов) будет равен 0,75, а не 0,6. Похоже, что условие задачи некорректно: при данных значениях 0,6 и 18 площадь не может быть 108.
Вообще говоря, все данные в этой задаче можно восстановить только по косинусу и стороне: угол K в 2 раза больше, то есть его синус/косинус мы знаем, синус/косинус угла C тоже легко найти через формулу синуса суммы. По теореме синусов можно найти все стороны, а затем и площадь. Соответственно, площадь восстанавливается единственным образом из косинуса и стороны, а значит, далеко не всякая из них подходит для условия (а можно и вообще её не давать).