РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 516337 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ состоят из натуральных чисел.

а)  Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 плюс a_3b_3=3a_2b_2$ ?

б)  Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 плюс 2a_4b_4=3a_3b_3$ ?

в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_3b_3,$ если $a_1b_1 плюс 2a_4b_4 меньше или равно 300$ ?

Решение. а)  Подходящим примером являются прогрессии $1, 3, 5,...$ и $1,4,7, ...$ соответственно. Для этих прогрессий имеем $a_1b_1 плюс a_3b_3=1 умножить на 1 плюс 5 умножить на 7=36=3 умножить на 3 умножить на 4=3a_2b_2.$

б)  Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий $a_1, a_2, ...,a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ соответственно. Тогда

$a_1b_1 плюс 2a_4b_4=a_1b_1 плюс 2 левая круглая скобка a_1 плюс 3c правая круглая скобка левая круглая скобка b_1 плюс 3d правая круглая скобка =3a_1b_1 плюс 6a_1d плюс 6b_1c плюс 18cd,$ $a_1b_1 плюс 2a_4b_4=a_1b_1 плюс 2 левая круглая скобка a_1 плюс 3c правая круглая скобка левая круглая скобка b_1 плюс 3d правая круглая скобка =$
$=3a_1b_1 плюс 6a_1d плюс 6b_1c плюс 18cd,$

$3a_3b_3=3 левая круглая скобка a_1 плюс 2c правая круглая скобка левая круглая скобка b_1 плюс 2d правая круглая скобка =3a_1b_1 плюс 6a_1d плюс 6b_1c плюс 12cd$

и $a_1b_1 плюс 2a_4b_4 минус 3a_3b_3=6cd.$

Если $a_1b_1 плюс 2a_4b_4=3a_3b_3,$ то $cd=0.$ Пришли к противоречию, ведь по условию $c больше 0$ и $d больше 0.$

в)  Как и ранее, обозначим через c и d разности арифметических прогрессий $a_1, a_2, ...,a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ соответственно. Тогда по условию $c больше или равно 1$ и $d больше или равно 1 .$ По доказанному в пункте б имеем $a_1b_1 плюс 2a_4b_4 минус 3a_3b_3=6cd.$ Значит,

$a_3b_3= дробь: числитель: a_1b_1 плюс 2a_4b_4 минус 6cd, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 300 минус 6, знаменатель: 3 конец дроби =98.$

Если прогрессии $a_1, a_2, ...,a_n, ...$ и $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ являются прогрессиями $5,6,7,8,...$ и $12,13,14,15,...$ соответственно, то

$a_1b_1 плюс 2a_4b_4=5 умножить на 12 плюс 2 умножить на 8 умножить на 15=300$ и $a_3b_3=7 умножить на 14=98.$

Этот пример показывает, что наибольшее возможное значение произведения $a_3b_3$ равно $98.$

Ответ: а)  да, например $1,3,5,...$ и $1,4,7,...$ соответственно; б)  нет; в)  98.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да, например $1,3,5,...$ и $1,4,7,...$ соответственно; б)  нет; в)  98.

516337

а)  да, например $1,3,5,...$ и $1,4,7,...$ соответственно; б)  нет; в)  98.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	516337	а)  да, например $1,3,5,...$ и $1,4,7,...$ соответственно; б)  нет; в)  98.