PDF-версии: 
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, 
а) Докажите, что A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если 
Решение. a) Заметим, что
— медиана прямоугольного треугольника ABH, значит, 
но и 
как средняя линия треугольника АВС. Поэтому четырёхугольник 
— равнобедренная трапеция, вокруг неё можно описать окружность, а значит, точки 
и H лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
б) Середины сторон треугольника являются вершинами подобного ему треугольника. Поэтому верны равенства: 
Кроме того, из п. а) 
Следовательно,
Пусть R — радиус окружности, описанной вокруг трапеции. Эта окружность одновременно описана вокруг треугольников 
и 
Тогда по теореме синусов для каждого из них имеем:
откуда находим 
Приведем другое решение пункта а).
Так как — медиана прямоугольного треугольника ABH, треугольник 
равнобедренный, тогда 
откуда 
Поскольку 
сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, а значит, он является вписанным.
Приведём решение пункта б) без использования пункта а).
Найдем сторону АВ треугольника ABC по теореме синусов:
Найдем катет прямоугольного треугольника AHB:
Тогда длина искомого отрезка A1H:
Замечание.
Покажем, что полученная длина равна 1. Действительно, поскольку
Ответ: б) 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |