a)  За­ме­тим, что   — ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH, зна­чит, но и как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  АВС. По­это­му четырёхуголь­ник   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, во­круг неё можно опи­сать окруж­ность, а зна­чит, точки и H лежат на одной окруж­но­сти. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми по­доб­но­го ему тре­уголь­ни­ка. По­это­му верны ра­вен­ства: Кроме того, из п. а) Сле­до­ва­тель­но,

Пусть R  — ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тра­пе­ции. Эта окруж­ность од­но­вре­мен­но опи­са­на во­круг тре­уголь­ни­ков и Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов для каж­до­го из них имеем:

от­ку­да на­хо­дим

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

Так как   — ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH, тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, тогда от­ку­да По­сколь­ку сумма про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°, а зна­чит, он яв­ля­ет­ся впи­сан­ным.

При­ведём ре­ше­ние пунк­та б) без ис­поль­зо­ва­ния пунк­та а).

Най­дем сто­ро­ну АВ тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме си­ну­сов:

Най­дем катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHB:

Тогда длина ис­ко­мо­го от­рез­ка A₁H:

За­ме­ча­ние.

По­ка­жем, что по­лу­чен­ная длина равна 1. Дей­стви­тель­но, по­сколь­ку

Ответ: б) 1.