Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 516801

В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, \angle BAC=60 в степени circ ,\angle BCA=45 в степени circ .

а) Докажите, что A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H, если BC=2 корень из { 3}.

Решение.

a) Заметим, что C_1H — медиана прямоугольного треугольника ABH, значит, C_1H= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB=AC_1=BC_1, но и A_1B_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB как средняя линия треугольника АВС. Поэтому четырёхугольник C_1HA_1B_1 — равнобедренная трапеция, вокруг неё можно описать окружность, а значит, точки A_1,B_1,C_1 и H лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

б) Середины сторон треугольника являются вершинами подобного ему треугольника. Поэтому верны равенства: \angle C_1A_1B_1=\angle A=60 в степени circ , \angle A_1C_1B_1=\angle C=45 в степени circ . Кроме того из п. а) \angle BC_1H=180 в степени circ минус 2\angle B=30 в степени circ. Следовательно,

\angle HC_1A_1=\angle BC_1A_1 минус \angle BC_1H=60 в степени circ минус 30 в степени circ =30 в степени circ .

Пусть R — радиус окружности, описанной вокруг трапеции. Эта окружность одновременно описана вокруг треугольников A_1C_1B_1 и A_1C_1H. Тогда по теореме синусов для каждого из них, имеем:

2R= дробь, числитель — HA_1, знаменатель — синус \angle HC_1A_1 = дробь, числитель — B_1C_1, знаменатель — синус \angle C_1A_1B_1 ,

откуда находим HA_1= корень из { 3} дробь, числитель — синус 30 в степени circ , знаменатель — синус 60 в степени circ =1.

Приведем другое решение пункта а) Так как C_1H — медиана прямоугольного треугольника ABH, треугольник BC_1H равнобедренный, тогда \angle C_1HB=\angle C_1BH=75 в степени circ , откуда \angle C_1HA_1=105 в степени circ . Поскольку \angle C_1B_1A_1=\anglke ABC=75 в степени circ, сумма противоположных углов четырехугольника C_1HA_1B_1 равна 180°, а значит, он является вписанным.

Приведём решение пункта б) без использования пункта а).

Найдем сторону АВ треугольника ABC по теореме синусов:

 дробь, числитель — AB, знаменатель — синус C = дробь, числитель — BC, знаменатель — синус A равносильно AB=2 корень из { 3} дробь, числитель — синус 45 в степени circ , знаменатель — синус 60 в степени circ =2 корень из { 2}.

Найдем катет прямоугольного треугольника AHB:

BH=AB косинус 75 в степени circ =2 корень из { 2} косинус 75 в степени circ .

Тогда длина искомого отрезка A1H:

A_1H=BA_1 минус BH= корень из { 3} минус 2 корень из { 2} косинус 75 в степени circ .

Замечание. Покажем, что полученная длина равна 1. Действительно, поскольку

 косинус 75 в степени circ = косинус (45 в степени circ плюс 30 в степени circ )= косинус 45 в степени circ косинус 30 в степени circ минус синус 45 в степени circ синус 30 в степени circ = дробь, числитель — корень из { 6} минус корень из { 2}, знаменатель — 4 ,

имеем:

A_1H=BA_1 минус BH= корень из { 3} минус 2 корень из { 2} левая круглая скобка дробь, числитель — корень из { 6}, знаменатель — 4 минус дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 4 правая круглая скобка = корень из { 3} минус ( корень из { 3} минус 1)=1.

 

Ответ: б) 1.

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Подобие