PDF-версии: 
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Решение. а) Введём систему координат, как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень
меньше его диагонали, ребро данного куба равно 
Тогда точки B, D, C1 имеют координаты 
соответственно.
P лежит на продолжении A1C, поэтому отрезок A1P можно рассматривать как диагональ куба с ребром 
Тогда точка P имеет координаты 
Найдём расстояние от P до точек D, B и C1:
Отрезки C1B, DB и DC1 — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора 
Тогда 
Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.
б) Координаты точки A: 
Раcстояние от точки P до точки A равно
Ответ: 
Приведем решение Дениса Чернышева.
а) Найдем длины боковых ребер тетраэдра как длины векторов 
и 
:
и 
Отсюда вычислим 
:
Аналогично вычисляются 
и 
Найдем длины ребер основания тетраэдра как длины векторов 
и 
:
Аналогично вычисляются 
и 
Все ребра равны, значит, PDBC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдем длину вектора 
:
тогда
Ответ:
Приведём другое решение.
а) Диагональ куба в
больше его ребра: 
Следовательно, 
Заметим, что 
как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D правильный.
Пусть
ABCD — квадрат, поэтому имеем: 
Поскольку 
как накрест лежащие и 
как вертикальные, получаем: 
по двум углам, тогда 
Заметим, что треугольник 
прямоугольный, тогда 
откуда
В треугольнике OMC имеем: 
поскольку 
верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC прямоугольный, ∠M = 90°.
BO = OD (C1O — медиана), 
и 
— правильный, поэтому M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.
M — центр описанной окружности треугольника BC1D и ∠C1MC = 90°, поэтому проекция точки P — точка M, тогда PB = PC1 = PD.
Заметим, что 
по теореме косинусов
поэтому 
— правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.
б) 
по теореме косинусов
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |