СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517263

Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.

а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

Решение.

а) Введём систему координат, как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B, D, C1 имеют координаты соответственно.

Поскольку P лежит на продолжении A1C, отрезок A1P можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P имеет координаты

Найдём расстояние от P до точек D1, B и C1:

Отрезки C1B, DB и DC1 — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.

б) Координаты точки A: Раcстояние от точки P до точки A равно

 

Ответ:

 

 

Приведём другое решение.

 

а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D — правильный.

Пусть Поскольку ABCD — квадрат имеем:

Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

Заметим, что треугольник — прямоугольный, тогда откуда

В треугольнике OMC имеем: так как — верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC − прямоугольный, ∠M = 90°.

Так как BO = OD (C1O — медиана), и — правильный, то M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.

Так как M — центр описанной окружности треугольника BC1D и ∠C1MC = 90°, то проекция точки P — точка M, тогда PB = PC1 = PD.

Заметим, что по теореме косинусов

Так как значит, — правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) по теореме косинусов

 

Ответ:

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2017. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Куб, Построения в пространстве, Правильный тетраэдр, Расстояние между точками