РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 519423 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Рациональные уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Уравнения. Рациональные уравнения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 18, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =7 левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 10.$

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2;\:2 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Сделаем замену $t= дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби ,$ возведём обе части в квадрат:

$t в квадрате = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус 3 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби ,$

тогда $дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =t в квадрате плюс 3.$ Имеем:

$2 левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка =7t плюс 10\: равносильно \: 2t в квадрате минус 7t минус 4=0\: равносильно \: совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t=4. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной. Если $t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ то

$дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно система выражений x не равно 2, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 6= минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно x в квадрате минус 3x минус 4=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x=4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно система выражений x не равно 2, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 6= минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 3x минус 4=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x=4. конец совокупности .$

Если $t=4,$ то

$дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби =4 равносильно система выражений x не равно 2, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 6=8 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно x в квадрате минус 12x плюс 14=0 равносильно совокупность выражений x=6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента ,x=6 плюс корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента . конец совокупности .$ $дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби =4 равносильно система выражений x не равно 2, левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 6=8 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 12x плюс 14=0 равносильно совокупность выражений x=6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента ,x=6 плюс корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента . конец совокупности .$

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус 2;\:2 правая квадратная скобка .$ В силу неравенств

$0 меньше 6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента меньше 6 минус 4=2$ и $6 плюс корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента больше 6 плюс 4=10 больше 2$

из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа $минус 1$ и $6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус 1; 4; 6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента ; 6 плюс корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1; 6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

519423

а) $левая фигурная скобка минус 1; 4; 6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента ; 6 плюс корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1; 6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента .$

Классификатор алгебры: Рациональные уравнения

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519423	а) $левая фигурная скобка минус 1; 4; 6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента ; 6 плюс корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1; 6 минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента .$