РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 519424 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Рациональные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Уравнения. Рациональные уравнения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =8 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 1.$

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 6;\: минус 4 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Пусть $t= дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби ,$ тогда $t в квадрате = дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ Имеем:

$5t в квадрате плюс 4=8t плюс 1 равносильно 5t в квадрате минус 8t плюс 3 = 0 равносильно совокупность выражений t=1,t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .$ $5t в квадрате плюс 4=8t плюс 1 равносильно$
$равносильно 5t в квадрате минус 8t плюс 3 = 0 равносильно совокупность выражений t=1,t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной. Если $t=1,$ то

$дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =1 равносильно система выражений x не равно минус 3, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 10=5 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс x минус 16=0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =1 равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус 3, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 10=5 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс x минус 16=0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =1 равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус 3, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 10=5 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс x минус 16=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Если $t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ то

$дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби равносильно система выражений x не равно минус 3, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 10=3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 3x минус 10=0 равносильно совокупность выражений x= минус 5,x=2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус 3, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 10=3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 3x минус 10=0 равносильно совокупность выражений x= минус 5,x=2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус 3, левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 10=3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 3x минус 10=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус 5,x=2. конец совокупности .$

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус 6; минус 4 правая квадратная скобка .$ Положительные корни не могут лежать в этом отрезке. Число –5 лежит в нем. Корень $минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ тоже лежит в этом отрезке в силу цепочки соотношений:

$минус 6 меньше минус 5 = минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 81 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 64 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= минус 4,5 меньше минус 4.$ $минус 6 меньше минус 5 =$
$= минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 81 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 64 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= минус 4,5 меньше минус 4.$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус 5; 2; минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус 5; минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Примечание.

Обращаем внимание читателей, что $дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

519424

а) $левая фигурная скобка минус 5; 2; минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус 5; минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Рациональные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.2 Рациональные уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519424	а) $левая фигурная скобка минус 5; 2; минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус 5; минус дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$