PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC1 равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.
Решение. а) Прямые ВС1 и AD1 параллельны, поэтому угол между прямыми
б) Заметим, что прямые АС и ВС1 содержатся в параллельных плоскостях
Обозначим центры треугольников ACD1 и BC1A1 через точки
Объем тетраэдра DACD1 равен 36, а площадь его основания 
Значит, высота 
Аналогично 
Кроме того, 
Значит, 
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Пусть φ — угол между прямыми
откуда φ = 60°.
б) Рассмотрим плоскость α, проходящую через AC и параллельную BC1. Вектор 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда 
откуда 
Подставим координаты точек 
получим:
Тогда: 
Плоскость α не проходит через начало координат, а потому коэффициент D можно положить любым, отличным от нуля. Пусть 
тогда уравнение плоскости имеет вид 
Расстояние между прямыми
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |