PDF-версии: 
В правильный треугольник со стороной a вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.
Решение. а) Впишем следующий треугольник так, чтобы его вершинами были точки касания сторон предыдущего с вписанной окружностью (все правильные треугольники, вписанные в одну окружность, равны, поэтому выбор положения за нами). Значит, каждый следующий треугольник вдвое меньше предыдущего, поэтому и радиус вписанной окружности у него в два раза менье, а площадь вписанного круга меньше вчетверо.
б) Первый член прогрессии равен 
где
Поэтому прогрессия имеет сумму:
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |