Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521213

В правильный треугольник со стороной a вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.

а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.

б) Найдите сумму площадей всех кругов.

Решение.

а) Впишем следующий треугольник так, чтобы его вершинами были точки касания сторон предыдущего с вписанной окружностью (все правильные треугольники, вписанные в одну окружность, равны, поэтому выбор положения за нами). Значит, каждый следующий треугольник вдвое меньше предыдущего, поэтому и радиус вписанной окружности у него в два раза менье, а площадь вписанного круга меньше вчетверо.

б) Первый член прогрессии равен  Пи r в степени 2 , где

r= дробь, числитель — S, знаменатель — p = дробь, числитель — 2S, знаменатель — 3a = дробь, числитель — a в степени 2 корень из { 3}, знаменатель — 6a = дробь, числитель — a, знаменатель — 2 корень из { 3 }.

 

Поэтому прогрессия имеет сумму:

 дробь, числитель — a в степени 2 Пи , знаменатель — 12 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 = дробь, числитель — Пи a в степени 2 , знаменатель — 9 .

Ответ: дробь, числитель — a в степени 2 Пи , знаменатель — 9 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 189.
Классификатор базовой части: Задачи на прогрессии
Классификатор планиметрии: Треугольники