i
Окружность, вписанная в трапецию АВСD, касается боковых сторон АВ и СD в точках К и М.
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.
б) Найдите площадь трапеции АВСD, если известно, что AK = 9, ВК = 4, СМ = 1.
Пусть O — центр окружности. Тогда CO и DO — биссектрисы соответствующих углов и 
По теореме Пифагора в треугольнике COD имеем
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому: 
Она отсечет от трапеции треугольник со сторонами 13, 37, 45 − 5 = 40. Найдем его площадь по формуле Герона. Имеем:
и площадь трапеции составляет 
