Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521259

Окружность, вписанная в трапецию АВСD, касается боковых сторон АВ и СD в точках К и М.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.

б) Найдите площадь трапеции АВСD, если известно, что AK = 9, ВК = 4, СМ = 1.

Решение.

а) Поскольку BC параллельна прямой AD, \angle BCD плюс \angle ADC=180 в степени \circ . Пусть O — центр окружности. Тогда CO и DO — биссектрисы соответствующих углов и

\angle OCD плюс \angle ODC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (\angle BCD плюс \angle ADC)=90 в степени \circ ,

поэтому \angle COD=90 в степени \circ . По теореме Пифагора в треугольнике COD имеем

CO в степени 2 плюс DO в степени 2 =CD в степени 2 .

Аналогично

BO в степени 2 плюс AO в степени 2 =BA в степени 2 .

Складывая эти равенства, получим требуемое.

б) По свойству высоты в прямоугольном треугольнике BOA находим:

OK= корень из { AK умножить на KB}=6.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике COD находим:

6= корень из { CM умножить на MD},

откуда MD=36. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому:

BC=BT плюс TC=BK плюс CM=5,

аналогично AD=9 плюс 36=45.

Проведем теперь через B прямую, параллельную CD. Она отсечет от трапеции треугольник со сторонами 13, 37, 45 − 5 = 40. Найдем его площадь по формуле Герона. Имеем:

S= корень из { 45 умножить на 32 умножить на 8 умножить на 5}=15 умножить на 16=240.

Значит, высота треугольника, проведенная из вершины B, (она же высота трапеции) равна  дробь, числитель — 2 умножить на 240, знаменатель — 40 =12 и площадь трапеции составляет

 дробь, числитель — 5 плюс 45, знаменатель — 2 умножить на 12=300.

Ответ:300.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 195.
Методы геометрии: Свойства высот
Классификатор планиметрии: Треугольники