Ре­ше­ние. За­ме­тим, что наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше −4, если все зна­че­ния функ­ции боль­ше −4. За­дан­ная функ­ция не­пре­рыв­на и на бес­ко­неч­но­стях стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти. По­это­му при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра она до­сти­га­ет сво­е­го наи­мень­ше­го зна­че­ния. Тогда за­да­чу можно пе­ре­фор­му­ли­ро­вать так: тре­бу­ет­ся найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

и по­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей не­ра­вен­ства и

Гра­фик функ­ции   — па­ра­бо­ла с от­ра­жен­ной от­ри­ца­тель­ной ча­стью, пе­ре­ме­ща­ю­ща­я­ся по оси абс­цисс, с кор­ня­ми и

Гра­фик функ­ции    — изоб­ражённая на ри­сун­ке ло­ма­ная (вы­де­ле­на синим цве­том).

Для вы­пол­не­ния не­ра­вен­ства (*) не­об­хо­ди­мо, чтобы все точки гра­фи­ка рас­по­ла­га­лись выше гра­фи­ка Гра­нич­ные спо­со­бы под­хо­дя­ще­го рас­по­ло­же­ния по­движ­но­го гра­фи­ка изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке зелёным и крас­ным цве­том. Опре­де­лим зна­че­ния па­ра­мет­ра для этих гра­ниц.

Левую гра­ни­цу найдём из усло­вия ка­са­ния пря­мой, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем и па­ра­бо­лы, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем Они имеют един­ствен­ную общую точку, а зна­чит, урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде и най­дем дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го урав­не­ния:

Он об­ра­ща­ет­ся в нуль при

Пра­вая гра­ни­ца до­сти­га­ет­ся, если боль­ший ко­рень функ­ции равен 4: от­ку­да

Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ство (*) вы­пол­ня­ет­ся при всех зна­че­ни­ях x, если

Ответ:

При­ме­ча­ние.

По прось­бе Сер­гея Вол­ко­ва по­ка­жем, как опре­де­лить, не поль­зу­ясь ри­сун­ком, какое усло­вие надо рас­смат­ри­вать для опре­де­ле­ния гра­ни­цы рас­по­ло­же­ния по­движ­но­го гра­фи­ка: усло­вие ка­са­ния па­ра­бо­лы и пря­мой или усло­вие про­хож­де­ния пря­мой через ко­рень па­ра­бо­лы.

Па­ра­бо­ла за­да­ет­ся урав­не­ни­ем За­ме­тим, что при­чем и про­из­вод­ная воз­рас­та­ет на всей чис­ло­вой оси. Для ка­са­ния па­ра­бо­лы и пря­мой не­об­хо­ди­мо, чтобы уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной был равен зна­че­нию про­из­вод­ной. Сле­до­ва­тель­но, если уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой мень­ше −2, то для опре­де­ле­ния гра­нич­но­го усло­вия надо рас­смат­ри­вать ка­са­ние пря­мой и левой ветви па­ра­бо­лы. Если уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой боль­ше 2, то не­об­хо­ди­мо рас­смат­ри­вать ка­са­ние пря­мой и пра­вой ветви па­ра­бо­лы. Если же уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой на­хо­дит­ся в пре­де­лах от −2 до 2, то ка­са­ние пря­мой и па­ра­бо­лы будет в точке, рас­по­ло­жен­ной на от­ри­ца­тель­ной части па­ра­бо­лы, но эта часть сим­мет­рич­но отоб­ра­же­на от­но­си­тель­но оси абс­цисс, сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо рас­смат­ри­вать усло­вие про­хож­де­ния пря­мой через ко­рень па­ра­бо­лы.