РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.

а)  Может ли быть 10 синих карточек?

б)  Может ли быть 10 красных карточек?

в)  Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Решение. Пусть $S_1$   — сумма на синих карточках, $S_2$   — сумма на красных карточках. Тогда

$система выражений дробь: числитель: S_1 плюс S_2, знаменатель: 50 конец дроби =16, дробь: числитель: 2S_1 плюс S_2, знаменатель: 50 конец дроби =31,2 конец системы . равносильно система выражений S_1=760,S_2=40. конец системы .$

а)  Приведем пример. На каждой из сорока красных карточек написана 1. На синих карточках написаны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 706 (760 − 54). Эти числа удовлетворяют системе.

б)  Если красных карточек 10, то наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 4 (иначе сумма на красных карточках не превосходит $3 умножить на 10 =30,$ что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 5. Тогда сумма на 40 синих карточках не меньше, чем $5 плюс 6 плюс \ldots плюс 44=980.$ Противоречие.

в)  Приведем пример для 35 синих карточек и 15 красных. На двенадцати красных карточках написано 3, на двух 1, и на одной 2. На синих карточках написано: $4, 5, \ldots, 37, 760 минус левая круглая скобка 4 плюс 37 правая круглая скобка умножить на 34/2=63.$

Если же синих карточек больше 35, то красных меньше 15. Наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 3 (иначе сумма на красных карточках не превосходит $2 умножить на 14 =28,$ что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 4. Тогда сумма на синих карточках не меньше, чем $4 плюс 5 плюс \ldots плюс 39=774.$ Противоречие.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  35.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526258	а)  да; б)  нет; в)  35.

Ключ