СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526258

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.

а) Может ли быть 10 синих карточек?

б) Может ли быть 10 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Решение.

Пусть − сумма на синих карточках, − сумма на красных карточках. Тогда

а) Приведем пример. На каждой из сорока красных карточек написана 1. На синих карточках написаны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 706 (760 − 54). Эти числа удовлетворяют системе.

б) Если красных карточек 10, то наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 4 (иначе сумма на красных карточках не превосходит , что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 5. Тогда сумма на 40 синих карточках не меньше, чем . Противоречие.

в) Приведем пример для 35 синих карточек и 15 красных. На двенадцати красных карточках написано 3, на двух 1, и на одной 2. На синих карточках написано:

Если же синих карточек больше 35, то красных меньше 15. Наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 3 (иначе сумма на красных карточках не превосходит , что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 4. Тогда сумма на синих карточках не меньше, чем . Противоречие.

 

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 35.

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2019
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках