PDF-версии: 
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 8, а 
Решение. а) Поскольку точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, лучи BO и CO являются биссектрисами углов треугольника ABC. Угол POC является внешним углом треугольника BOC. Следовательно,
Углы ACP и ABP равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому
Таким образом, 
б) Пусть 
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Хорды AP и CP стягивают равные дуги окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому
Таким образом, площадь треугольника APC равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |