РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527325 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 253

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 4x плюс 4x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 7x плюс 12 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Найдем ОДЗ неравенства и преобразуем его:

$x плюс 1 больше 0\Rightarrow x больше минус 1;$

$x плюс 1 не равно 1\Rightarrow x не равно 0;$

$1 минус 2x больше 0\Rightarrow x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$

$1 минус 4x плюс 4x в квадрате больше 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате больше 0 \Rightarrow x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$

$1 минус 4x плюс 4x в квадрате не равно 1 равносильно левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате не равно 1 равносильно 1 минус 2x не равно \pm 1\Rightarrow x не равно 0;x не равно 1;$

$x плюс 3 больше 0\Rightarrow x больше минус 3;$

$дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 0\Rightarrow x больше минус 1;$

$дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби не равно 1\Rightarrow x не равно 0;$

$x в квадрате плюс 7x плюс 12 больше 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше 0\Rightarrow x больше минус 3$ или $x меньше минус 4.$

Отсюда ОДЗ неравенства $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ На ОДЗ неравенство можно преобразовать так:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше или равно 0.$

Рационализируем:

$дробь: числитель: x плюс 4 минус 1, знаменатель: x плюс 1 минус 1 конец дроби больше или равно 0 меньше равносильно дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; бесконечность правая круглая скобка .$

Учитывая ОДЗ, получаем окончательно: $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527325

$x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 253

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527325	$x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$