РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 527437 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Сложные задачи с параметром. Неравенства с параметром

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство

$4a в квадрате умножить на корень из: начало аргумента: 2 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 2x правая круглая скобка конец аргумента плюс дробь: числитель: 12a, знаменатель: Пи конец дроби арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка минус 8a в квадрате минус 3a\leqslant1$

выполняется для любых $x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Имеем:

$x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка ;$

$2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ;$

$арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ;$

$арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 2x правая круглая скобка = минус арксинус левая круглая скобка 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$

$дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка принадлежит левая квадратная скобка 1;4 правая квадратная скобка .$

Обозначим $t= дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арккосинус левая круглая скобка 2x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка ,$ $t минус 3= дробь: числитель: 6, знаменатель: Пи конец дроби арксинус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 2x правая круглая скобка .$ Получаем:

$4a в квадрате корень из: начало аргумента: 5 минус t конец аргумента плюс 2at минус 8a в квадрате минус 3a минус 1 меньше или равно 0.$

Пусть теперь $корень из: начало аргумента: 5 минус t конец аргумента =y принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка ,$ тогда $t=5 минус y в квадрате .$ Далее:

$4a в квадрате y плюс 2a левая круглая скобка 5 минус y в квадрате правая круглая скобка минус 8a в квадрате минус 3a минус 1 меньше или равно 0 равносильно минус 2ay в квадрате плюс 4a в квадрате y минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1 меньше или равно 0.$ $4a в квадрате y плюс 2a левая круглая скобка 5 минус y в квадрате правая круглая скобка минус 8a в квадрате минус 3a минус 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2ay в квадрате плюс 4a в квадрате y минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1 меньше или равно 0.$

Сразу разберем случай $a=0.$ Получим $минус 1 меньше или равно 0,$ что верно. Поэтому $a=0$ подходит. В остальных случаях это квадратное неравенство. Для того, чтобы это неравенство выполнялось при всех $y принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка$ необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось при $y=1,$ $y=2$ и $y= дробь: числитель: минус 4a в квадрате , знаменатель: минус 4a конец дроби =a,$ если $a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Случай 1. Если $a\not принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка ,$ то достаточно проверять первые два условия.

$минус 2a плюс 4a в квадрате минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1= минус 4a в квадрате плюс 5a минус 1= минус левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка ;$

$минус 8a плюс 8a в квадрате минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1= минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0,$ $a больше или равно минус 1.$

Итак, подходят $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$

Случай 2. Если $a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка ,$ то еще нужно, чтобы

$минус 2a в кубе плюс 4a в кубе минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1=2a в кубе минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1= левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2a в квадрате минус 6a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $минус 2a в кубе плюс 4a в кубе минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1=$
$=2a в кубе минус 8a в квадрате плюс 7a минус 1= левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2a в квадрате минус 6a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

На всем этом промежутке первый множитель неотрицателен, а второй неположителен, неравенство выполнено.

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

527437

$a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527437	$a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$