PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет четное число решений.
Решение. Заметим, что
В системе координат xOa графиком полученной совокупности, а значит, и графиком исходного уравнения является объединение вертикальной прямой 
и графика функции 
Для построения эскиза графика исследуем функцию 
с помощью производной.
Найдём область определения функции:
Найдём производную:
Заметим, что точка 
не входит в область определения функции. Значит, единственной критической точкой является 
Отметим на рисунке знаки производной и поведение функции:
Вычислим значения: 
Заметим, что при 
значения 
Эскиз графика исходного уравнения изображён на рисунке синим цветом. Число корней уравнения в зависимости от параметра a определим по числу точек пересечения графика уравнения с соответствующими горизонтальными прямыми (некоторые из этих прямых изображены на рисунке красным цветом).
Таким образом, исходное уравнение:
− при 
имеет один корень;
− при 
— три корня;
− при 
— четыре корня;
− при 
— три корня;
− при 
— два корня.
Значит, чётное число решений уравнение имеет при или 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Заметим, что
Тем самым, при любом значении параметра число 0 является решением уравнения. Следовательно, чтобы число решений было четным, уравнение 
должно иметь нечетное число решений при 
Для этого уравнение 
(*) должно иметь нечетное число решений на области определения исходного уравнения за исключением точки 0.
Найдём область определения исходного уравнения:
Построим эскиз графика функции 
Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции:
Обозначая 
и решая уравнение 
находим: 
или 
откуда, возвращаясь к исходной переменной, получаем 
Знаки производной и поведение функции укажем на рисунке.
Найдём экстремумы функции:
Эскиз графика функции y(x) изображён на рисунке. Заметим, что 
и выделим цветом части графика для 
Количество решений уравнения (*) равно количеству точек пересечения выделенной части графика с горизонтальными прямыми 
оно нечётно при 
Возвращаясь к параметру a, находим: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |