РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Склад, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ размером k × n × p кубических метров $левая круглая скобка p,n,k принадлежит N правая круглая скобка ,$ плотно заставлен канистрами размером 1 × 1 × 1 м³. Пуля летит по прямой и повреждает канистру только если делает в ней две дырки. Возможно ли одним выстрелом повредить более чем $левая круглая скобка p плюс n плюс k минус 3 правая круглая скобка$ канистр, если

а)  p  =  5, n  =  3, k  =  2 и выстрел произведен по диагонали АС₁?

б)   p  =  26, n  =  13, k  =  5 и выстрел произведен по диагонали АС₁?

в)  Сколько канистр повредит пуля, пролетающая по диагонали АС₁, если p  =  1812, n  =  1914, k  =  1941?

Решение. Рассмотрим параллелепипед и введем в нем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными по ребрам AB, AD, AA₁ соответственно. Проведем k · n · p плоскостей перпендикулярно каждой из координатных осей.

С левыми гранями канистр совпадает k плоскостей при x  =  0, 1np, 2np, ... (k − 1)np. С передними гранями канистр совпадает n плоскостей при y  =  0, 1kp, 2kp, ... (n − 1)kp. С нижними гранями канистр совпадает p плоскостей при z  =  0, 1kn, 2kn, ... (p − 1)kn. Пересекая данные плоскости, пуля оставит входные отверстия в левых гранях k канистр, передних гранях n канистр и нижних гранях p канистр, пробив всего k + n + p канистр.

Заметим, что плоскости x  =  Anp и y  =  Bkp являются гранями одной и той же канистры, если Anp  =  Bkp. Данное число должно быть кратно k и n. В этих канистрах входное отверстие расположено на левом переднем ребре и принадлежит одновременно левой и передней граням. Количество таких канистр равно

$дробь: числитель: k умножить на n умножить на p, знаменатель: HOK левая круглая скобка kp,np правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: k умножить на n умножить на p, знаменатель: p умножить на HOK левая круглая скобка k,n правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: k умножить на n, знаменатель: HOK левая круглая скобка k,n правая круглая скобка конец дроби =НОД левая круглая скобка k,n правая круглая скобка .$

Эти канистры были учтены дважды, следовательно, из суммы k + n + p необходимо вычесть НОД(k, n).

Аналогично, необходимо вычесть НОД(n, p)   — количество канистр, в которых входное отверстие располагается на переднем нижнем ребре и НОД(k, p)   — количество канистр, в которых входное отверстие располагается на левом нижнем ребре.

Кроме того, могут быть канистры, в которых входное отверстие расположено в левом нижнем переднем углу, при условии Anp  =  Bkp  =  Ckn. Таких канистр НОД(k, n, p). В сумме k + n + p эти канистры были учтены трижды, но они были также учтены в количестве канистр, для которых входное отверстие находится на ребре, и, соответственно, трижды вычтены от результата. Cледовательно, это количество канистр нужно прибавить. Окончательно получим:

N  =  n + p + k − НОД(n, p) − НОД(n, k) − НОД(p, k) + НОД(n, p, k).

Заметим, что если входное отверстие расположено на левой, передней или нижней грани канистры, то при движении слева-направо спереди-назад снизу-вверх пуля, войдя внутрь канистры, обязательно выйдет из нее, следовательно, количество входных отверстий равно количеству пробитых канистр.

а)  При p  =  5, n  =  3, k  =  2 получим

N  =  3 + 5 + 2 − НОД(3, 5) − НОД(3, 2) − НОД(5, 2) + НОД(3, 5, 2)  =  10 − 1 − 1 − 1 + 1  =  8,

p + n + k − 3  =  7.

Следовательно, повредить более чем p + n + k − 3 канистр можно.

б)   При p  =  26, n  =  13, k  =  5 получим

N  =  13 + 26 + 5 − НОД(13, 26) − НОД(13, 5) − НОД(26, 5) + НОД(13, 26, 5)  =  44 − 2 − 1 − 1 + 1  =  41,

p + n + k − 3  =  41.

Следовательно, повредить более чем p + n + k − 3 канистр нельзя.

в)  При p  =  1812, n  =  1914, k  =  1941 получим

N  =  1914 + 1812 + 1941 − НОД(1914, 1812) − НОД(1914, 1941) − НОД(1812, 1941) + НОД(1914, 1941, 1812) =

= 5667 − 6 − 3 − 3 + 3  =  5658.

Следовательно, будет повреждено 5658 канистр.

Ответ: а) да, б) нет, в) 5658.

Приведем другое решение

Рассмотрим параллелепипед и введем в нем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными по ребрам. AB, AD, AA₁ соответственно. Прямая AC₁ пересекает плоскости x  =  1, x  =  2, ..., x  =  k, y  =  1, y  =  2, ..., y  =  n, z  =  1, z  =  2, ... z  =  p ровно по одному разу (именно при этих пересечениях образуются дырки в канистрах). Всего этих пересечений не более чем k + n + p − 2 (выходя, пуля одновременно пересекает все три плоскости) и каждое пересечение завершает пробой очередной канистры. Поэтому может быть не более чем k + n + p − 2 пробитых канистры  — и то лишь в случае, когда никакие две плоскости прямая не пересекала одновременно.

а)  Повредить 8 канистр можно. Ясно, что в этом пункте как раз и реализуется такой случай: все точки прямой имеют вид (2t, 3t, 5t) при $t принадлежит левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .$ Если, например, 3t и 2t будут целыми одновременно, то и их разность $3t минус 2t=t$ будет целой, что невозможно (кроме концов диагонали). Аналогично не могут быть целыми 5t и 2t $левая круглая скобка 5t минус 2t минус 2t=t правая круглая скобка$ или 5t и 3t $левая круглая скобка 3t плюс 3t минус 5t=t правая круглая скобка .$

б)  Здесь точки прямой имеют вид (5t, 13t, 26t) и при $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 13 конец дроби ,$ например, сразу две координаты получаются целыми, поэтому будет пробито меньше нужного числа канистр.

в)  Здесь точки прямой имеют вид (1941t, 1914t, 1812t). Для удобства нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Пусть числа at, bt  — целые. Тогда НОД(a, b) · t  — тоже целое. Верно и обратное: если это произведение целое, то целыми будут и первые два.

Доказательство. Как известно, найдутся такие целые x и y, для которых $ax плюс by=c,$ где НОД(a, b)  =  c. Значит, $ct=xat плюс ybt$ и потому целое. Обратное утверждение очевидно  — at получается из ct домножением на некоторое целое число.

Отметим, что НОД(1941, 1914)  =  3, НОД(1941, 1812)  =  3, НОД(1812, 1914)  =  6, поэтому при $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $t= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби$ происходит пересечение сразу с двумя плоскостями, а при $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ и $t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$   — сразу с тремя. Поэтому общее число выходных отверстий составит 1812 + 1914 + 1941 − 1 − 1 − 1 − 2 − 2 − 2 = 5658 (последняя двойка соответствует t  =  1, то есть покиданию пулей склада).

Комментарий. В последнем пункте при $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ пуля проходит через общую вершину восьми канистр, но пробитыми все равно будут считаться только две.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	548186	а) да, б) нет, в) 5658.

Ключ