РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Сорок гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.

а)  Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г?

б)  Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г?

в)  Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?

Решение. а)  Средняя масса трёх гирек равнялась 10 г, а после добавления четвертой стала равна 11 г. Значит, масса добавленной гирьки равна 4 · 11 − 3 · 10  =  14 (г), что невозможно, поскольку гирька с такой массой уже присутствует в первой куче.

б)  Пусть в первой куче было n гирек, а их средняя масса равнялась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней равнялась na г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой k г, в первой куче стало n + 1 гирек, их средняя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна na + k г. Таким образом,

$левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка = na плюс k равносильно$ $na плюс n плюс a плюс 1 = na плюс k равносильно$ $a = k минус n минус 1.$

Следовательно, число a целое и не может равняться 8,5.

в)  Сумма масс n гирек не меньше $1 плюс 2 плюс ... плюс n = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ следовательно, $a больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ В первую кучу переложили гирьку массой k = a + n + 1 (г). Масса этой гирьки не превосходит 40 г, откуда получаем:

$40 больше или равно k=a плюс n плюс 1 больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс n плюс 1,$

тогда $дробь: числитель: 3n плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 40,$ то есть $n меньше или равно целая часть: 25, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 .$

Следовательно, наибольшее значение n не превосходит 25. Покажем, что n может равняться 25. Если в первой куче лежало 25 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 25 г и к ним добавили гирьку массой 39 г, то средняя масса была равна 13 г, а стала равна 14 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 25.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 25.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов:   — обоснованное решение пункта а;   — обоснованное решение пункта б;   — искомая оценка в пункте в;   — пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	548574	а) нет, б) нет, в) 25.

Ключ