Сорок гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
а) Средняя масса трёх гирек равнялась 10 г, а после добавления четвертой стала равна 11 г. Значит, масса добавленной гирьки равна 4 · 11 − 3 · 10 = 14 (г), что невозможно, поскольку гирька с такой массой уже присутствует в первой куче.
б) Пусть в первой куче было n гирек, а их средняя масса равнялась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней равнялась na г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой k г, в первой куче стало n + 1 гирек, их средняя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна na + k г. Таким образом,
Следовательно, число a целое и не может равняться 8,5.
в) Сумма масс n гирек не меньше 
следовательно, 
В первую кучу переложили гирьку массой
тогда 
то есть 
Следовательно, наибольшее значение n не превосходит 25. Покажем, что n может равняться 25. Если в первой куче лежало 25 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 25 г и к ним добавили гирьку массой 39 г, то средняя масса была равна 13 г, а стала равна 14 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 25.
Ответ: а) нет, б) нет, в) 25.