Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 548562

В наборе 100 гирек весом 1,2, ..., 100 граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а)  Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?

б)  Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 граммов?

в)  Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Спрятать решение

Решение.

а)  Средняя масса трёх гирек равнялась 5 граммов, а после добавления четвертой стала равна 6 граммов. Значит, масса добавленной гирьки равна 4 · 6 − 3 · 5 = 9 граммов, что невозможно, поскольку такая гирька уже есть в кучке.

б)  Пусть в первой куче было n гирек, а их средняя масса равнялась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней равнялась na г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой k г, в первой куче стало n + 1 гирек, их средняя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна na + k г. Таким образом,

 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка = na плюс k равносильно na плюс n плюс a плюс 1 = na плюс k равносильно a = k минус n минус 1.

Следовательно, число a целое и не может равняться 7,5.

в)  Сумма масс n гирек не меньше 1 плюс 2 плюс ... плюс n = дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби , следовательно, a больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби . В первую кучу переложили гирьку массой k = a + n + 1 (г). Масса этой гирьки не превосходит 100 г, откуда получаем:

100 больше или равно k=a плюс n плюс 1 больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс n плюс 1,

поэтому  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 100, откуда n меньше или равно целая часть: 65, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 .

Следовательно, наибольшее значение n не превосходит 65. Покажем, что могло быть 65 гирек. Если в первой кучке лежало 65 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 65 г, и к ним добавили гирьку массой  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 65 плюс 1 правая круглая скобка =99 г, то средняя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 65.

 

Ответ: а) нет, б) нет, в) 65.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 548569: 548562 548574 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 409, Задания 19 ЕГЭ–2020
Классификатор алгебры: Числа и их свойства