Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 548569

В наборе 70 гирек массой 1, 2, ..., 70 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 11 г, 15 г, 19 г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 9,5 грамма?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Спрятать решение

Решение.

а) Изначально в первой кучке среднее составляло  левая круглая скобка 11 плюс 15 плюс 19 правая круглая скобка :3=15 г. Если после перекладывания оно стало равно 16 г, то масса кучки 4 умножить на 16=64 г. Значит, добавленная гирька была массой 64 минус 11 минус 15 минус 19=19 г, что невозможно, так как такая гирька только одна.

б) Пусть изначально в первой кучке было n гирек суммарным весом 9,5n граммов. После перекладывания в кучке стала n плюс 1 гирька суммарным весом 10,5(n + 1) г. Значит, была добавлена гирька весом 10,5 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 9,5n=n плюс 10,5 г — нецелое число граммов.

в) Пусть изначально в первой кучке было n гирек суммарным весом xn г, а после перекладывания в кучке стала n + 1 гирька суммарным весом  левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка г. Значит, была добавлена гирька весом  левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус xn=x плюс n плюс 1 г. Нужно сделать n как можно большим. Заметим, что даже если выбрать гирьки самой маленькой массы, n гирек будут весить 1 плюс 2 плюс \ldots плюс n= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби г, поэтому x больше или равно дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби \г. Значит, масса добавленной гирьки не меньше, чем  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка г. Отсюда  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 70, то есть n меньше или равно 45.

Пример для 45 гирек теперь легко построить. Возьмем в изначальный набор гирьки 1, 2, 3, ..., 45 граммов и добавочную гирьку массой  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =69 г, тогда все условия будут выполнены: средняя масса 23 грамма выросла до 24 граммов.

 

Ответ: а) нет, б) нет, в) 45.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 548569: 548562 548574 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 406, Задания 19 ЕГЭ–2020
Классификатор алгебры: Числа и их свойства