Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 548569
i

В на­бо­ре 70 гирек мас­сой 1, 2, ..., 70 грам­мов. Их раз­ло­жи­ли на две кучки так, что в каж­дой кучке есть хотя бы одна гирь­ка. Потом из вто­рой кучки пе­ре­ло­жи­ли одну гирь­ку в первую кучку. В ре­зуль­та­те сред­няя масса гирек в пер­вой кучке уве­ли­чи­лась ровно на один грамм.

а)  Могла ли пер­вая кучка (до пе­ре­кла­ды­ва­ния) со­сто­ять из гирек с ве­са­ми 11 г, 15 г, 19 г?

б)  Мог ли сред­ний вес гирек в пер­вой кучке до пе­ре­кла­ды­ва­ния рав­нять­ся 9,5 грам­ма?

в)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство гирек могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой кучке?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из­на­чаль­но в пер­вой кучке сред­нее со­став­ля­ло левая круг­лая скоб­ка 11 плюс 15 плюс 19 пра­вая круг­лая скоб­ка :3=15 г. Если после пе­ре­кла­ды­ва­ния оно стало равно 16 г, то масса кучки 4 умно­жить на 16=64 г. Зна­чит, до­бав­лен­ная гирь­ка была мас­сой 64 минус 11 минус 15 минус 19=19 г, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку такая гирь­ка толь­ко одна.

б)  Пусть из­на­чаль­но в пер­вой кучке было n гирек сум­мар­ным весом 9,5n грам­мов. После пе­ре­кла­ды­ва­ния в кучке стала n плюс 1 гирь­ка сум­мар­ным весом 10,5(n + 1) г. Зна­чит, была до­бав­ле­на гирь­ка весом 10,5 левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 9,5n=n плюс 10,5 г  — не­це­лое число грам­мов.

в)  Пусть из­на­чаль­но в пер­вой кучке было n гирек сум­мар­ным весом xn г, а после пе­ре­кла­ды­ва­ния в кучке стала n + 1 гирь­ка сум­мар­ным весом левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка г. Зна­чит, была до­бав­ле­на гирь­ка весом левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус xn=x плюс n плюс 1 г. Нужно сде­лать n как можно боль­шим. За­ме­тим, что даже если вы­брать гирь­ки самой ма­лень­кой массы, n гирек будут ве­сить 1 плюс 2 плюс \ldots плюс n= дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби г, по­это­му x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: n плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \г. Зна­чит, масса до­бав­лен­ной гирь­ки не мень­ше чем дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка г. От­сю­да дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 70, то есть n мень­ше или равно 45.

При­мер для 45 гирек те­перь легко по­стро­ить. Возь­мем в из­на­чаль­ный набор гирь­ки 1, 2, 3, ..., 45 грам­мов и до­ба­воч­ную гирь­ку мас­сой дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =69 г, тогда все усло­вия будут вы­пол­не­ны: сред­няя масса 23 грам­ма вы­рос­ла до 24 грам­мов.

 

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  45.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние пунк­та а;

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние пунк­та б;

―  ис­ко­мая оцен­ка в пунк­те в;

―  при­мер в пунк­те в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 548569: 548562 548574 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025