Тип 19 № 548575 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Решение. а) Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4, из которых получили числа 13, 87 и 4. При этом 1 + 8 + 4 = 13, 13 + 87 + 4 = 104 = 8 · 13. Значит, сумма увеличилась в 8 раз.
б) Пусть в первой группе было m чисел, а их сумма равнялась А, во второй группе было n чисел, а их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна А + В + С, а стала 10A + 3m + 10B + 7n + С.
Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:
10A + 3m + 10B + 7n + С = 17А + 17В + 17С 
3m + 7n = 7A + 7B + 16C.
Это невозможно, поскольку 
в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы чисел и изначальной:
Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то А + В + С не изменится, а 3m + 7n − 9C увеличится. Значит, отношение Q будет наибольшим, если в первой и третьей группах находится по одному числу. Поэтому будем считать, что m = 1, а общее количество чисел равно n + 2. Поскольку числа различные, получаем 
Кроме того, Значит,
Найдём, при каком значении n выражение 
принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность
Значит, 
при 
и 
при 
Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при n = 4. Следовательно,
Покажем, что отношение Q могло равняться 
Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом, 
Ответ: а) да, 6) нет, в)
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — искомая оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, 6) нет, в)
548575
а) да, 6) нет, в)
PDF-версии: