Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 548575

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы  — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а)  Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б)  Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в)  В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4, из которых получили числа 13, 87 и 4. При этом 1 + 8 + 4 = 13, 13 + 87 + 4 = 104 = 8 · 13. Значит, сумма увеличилась в 8 раз.

б)  Пусть в первой группе было m чисел, а их сумма равнялась А, во второй группе было n чисел, а их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна А + В + С, а стала 10A + 3m + 10B + 7n + С.

Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:

10A + 3m + 10B + 7n + С = 17А + 17В + 17С  равносильно 3m + 7n = 7A + 7B + 16C.

Это невозможно, поскольку A больше или равно m больше или равно 1, B больше или равно n больше или равно 1, C больше или равно 1.

в)  Рассмотрим отношение Q получившейся суммы чисел и изначальной:

Q= дробь: числитель: 10A плюс 3m плюс 10B плюс 7n плюс C, знаменатель: A плюс B плюс C конец дроби =10 плюс дробь: числитель: 3m плюс 7n минус 9C, знаменатель: A плюс B плюс C конец дроби .

Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то А + В + С не изменится, а 3m + 7n − 9C увеличится. Значит, отношение Q будет наибольшим, если в первой и третьей группах находится по одному числу. Поэтому будем считать, что m = 1, а общее количество чисел равно n + 2. Поскольку числа различные, получаем A плюс B плюс C больше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби . Кроме того, C больше или равно 1. Значит,

Q=10 плюс дробь: числитель: 3 плюс 7n минус 9C, знаменатель: A плюс B плюс C конец дроби меньше или равно 10 плюс дробь: числитель: 7n минус 6, знаменатель: A плюс B плюс C конец дроби меньше или равно 10 плюс дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 7n минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка конец дроби .

Найдём, при каком значении n выражение f левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: 7n минус 6, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка конец дроби принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность

f левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка n правая круглая скобка = дробь: числитель: 7n плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 7n минус 6, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка конец дроби =
= дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 7n плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 7n минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 26 минус 7n, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка конец дроби .

Значит, f левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка n правая круглая скобка больше 0 при n меньше или равно 3 и f левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус f{n правая круглая скобка меньше 0 при n больше или равно 4. Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при n = 4. Следовательно,

Q\leqslant10 плюс дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 7n минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \leqslant10 плюс 2f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =10 плюс дробь: числитель: 22, знаменатель: 21 конец дроби = дробь: числитель: 232, знаменатель: 21 конец дроби .

Покажем, что отношение Q могло равняться  дробь: числитель: 232, знаменатель: 21 конец дроби . Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом, Q= дробь: числитель: 232, знаменатель: 21 конец дроби .

 

Ответ: а) да, 6) нет, в)  дробь: числитель: 232, знаменатель: 21 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 548430: 548575 Все

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи
Классификатор алгебры: Числа и их свойства