На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 7, к каждому числу из второй группы — цифру 9, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 2 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
a) Пусть на доске были написаны числа 1, 2 и 40, из которых получили числа 17, 29 и 40. При этом 
Значит, сумма увеличилась в 2 раза.
б) Пусть в первой группе было m чисел, их сумма равнялась A, во второй группе было n чисел, их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна 
а стала равна 
Предположим, что сумма увеличилась в 19 раз. Тогда получаем
Это невозможно, поскольку 
в) Предположим, что сумма увеличилась в 11 раз. Тогда получаем
Пусть в третьей группе было k чисел, а всего было 
чисел. Поскольку числа различные, получаем 
Кроме того, Значит,
тогда 
следовательно,
откуда находим 
Учитывая, что S целое, получаем 
Покажем, что могло быть написано 14 чисел. Пусть были написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, из которых получили числа 1, 27, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119, 129, 139, 159. Тогда сумма чисел была равна 106, а стала равна 1166, то есть увеличилась в 11 раз.
Ответ: а) да; б) нет; в) 14.