На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй — B, в третьей — C, и пусть количества чисел равны соответственно x, y и z. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.
а) Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.
б) Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение 
или 
что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, 
откуда 
то есть 
Противоречие.
в) Рассмотрим частное новой суммы и старой:
Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное из всех, то его выгодно обменять местами с минимальным (это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель), а затем заменить на единицу (это уменьшит знаменатель и не изменит числитель). Имеем:
При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть 
Получим:
Найдем значения полученного выражения при различных y:
y = 1: 
y = 2: 
y = 3: 
y = 4: 
Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть 
Найдем производную:
При 
найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при ее значения меньше, чем значение при 
Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой 
Ответ: а) да, б) нет, в) в 11,6 раза.