а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  SK  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CKM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCKM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На сто­ро­нах AB, BC и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки C₁, A₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но, причём AC₁ : C₁B  =  8 : 3, BA₁ : A₁C  =  1 : 2, CB₁ : B₁A  =  3 : 1. От­рез­ки BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что ADA₁B₁  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те CD, если от­рез­ки AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AC  =  28, BC  =  18.

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на пять лет в раз­ме­ре S тыс руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле 2027, 2028 и 2029 долг остаётся рав­ным S тысяч руб­лей;

  — вы­пла­ты в 2030 и 2031 годах равны по 360 тысяч руб­лей;

  — к июлю 2031 долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске было на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Эти числа раз­би­ли на три груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых ока­за­лось хотя бы одно число. К каж­до­му числу из пер­вой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 6, к каж­до­му числу из вто­рой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 9, а числа тре­тьей груп­пы оста­ви­ли без из­ме­не­ний.

а)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 9 раз?

б)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 19 раз?

в)  В какое наи­боль­шее число раз могла уве­ли­чить­ся сумма всех этих чисел?