В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. Точка  M лежит на ребре BC, при­чем BM  =  1, точка K лежит на ребре SC, при­чем SK  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды CDKM.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  7, а бо­ко­вое ребро SA  =  10. Точка  M лежит на ребре BC, при­чем BM  =  4, точка K лежит на ребре SC, при­чем SK  =  7.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды CDKM.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  SK  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CKM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCKM.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  8, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, SK  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CKM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCKM.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC в ко­то­рой AB  =  9, точка M лежит на ребре AB так, что AM  =  8. Точка K делит сто­ро­ну SB так, что SK : KB  =  7 : 3. Ребро Точки M и K при­над­ле­жат плос­ко­сти α, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

а)  До­ка­жи­те, что точка С при­над­ле­жит плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния α.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC в ко­то­рой AB  =  6, точка M лежит на ребре AB так, что AM  =  5. Точка K делит сто­ро­ну SB так, что SK : KB  =  4 : 3. Ребро Точки M и K при­над­ле­жат плос­ко­сти α, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

а)  До­ка­жи­те, что точка С при­над­ле­жит плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния α.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF бо­ко­вое ребро SA  =  14, а сто­ро­на AB  =  8. Точка М се­ре­ди­на сто­ро­ны AB Плос­кость α про­хо­дит через точки M и D и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Пря­мая SC пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке K.

a) До­ка­жи­те, что MK  =  KD.

б) Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MCDK.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, M  — се­ре­ди­на AB, N  — се­ре­ди­на CS.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ции от­рез­ков MN и AS на плос­кость ABC равны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SABC, если AS  =  8, MN  =  5.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 4, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC от­ме­че­ны точки N и K со­от­вет­ствен­но, причём DN : NC  =  SK : KC = 1 : 3. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА₁В₁С₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 8, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно 7. На ребре СС₁ от­ме­че­на точка М, при­чем СМ  =  1.

а)  Точки О и О₁  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков АВС и А₁В₁С₁ со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мая ОО₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка АВМ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А₁ до плос­ко­сти АВМ.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ в ко­то­рой AB  =  6 и AA₁  =  3. Точки O и O₁ яв­ля­ют­ся цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ cот­вет­ствен­но. На ребре CC₁ от­ме­че­на точка M такая, что CM  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OO₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABM.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABMC₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, в ко­то­рой AB  =  1 и AA₁  =  3. Точки O и O₁ яв­ля­ют­ся цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ cот­вет­ствен­но. На ребре CC₁ от­ме­че­на точка M такая что CM  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OO₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка тре­уголь­ни­ка ABM.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABMC₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, в ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, бо­ко­вое ребро Точка Q  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ВС, СC₁ и А₁C₁ cот­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки Q, M, N и K лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния QMN.

Объем куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ABCD равен 27. Над плос­ко­стью верх­не­го ос­но­ва­ния от­ме­че­на точка E такая, что и

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ABB₁ про­хо­дит через точку E.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти EBC, если объем EA₁B₁C₁ в 2 раза мень­ше объ­е­ма EBCC₁.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K  — се­ре­ди­на ребра АВ, точка Р  — се­ре­ди­на ребра ВС. Через точки K, P, D₁ про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α можно раз­бить на две части, одна из ко­то­рых рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, а дру­гая  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если из­вест­но, что сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 8, а бо­ко­вое ребро равно 6.