Дана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.
а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.
б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN = 5.
а) Пусть SO — высота пирамиды. Проекция отрезка AS на плоскость ABC — это отрезок AO. Проекция отрезка SC на плоскость ABC — это отрезок OC. Следовательно, проекция точки N — это середина отрезка OC, точка P. Точки C, P, O, M лежат на одной прямой, причем CP = PO = OM, следовательно, MP = CO = AO. Таким образом, проекции отрезков MN и SA на плоскость основания пирамиды равны.
б) Обозначим высоту пирамиды за h. Тогда 
По пункту а) имеем:
следовательно,
Тогда 
Таким образом, для искомого объема получаем 
Ответ: б) 