а)  Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат сле­ду­ю­щим об­ра­зом: A  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат, AD сов­па­да­ет с осью x, AB  — сов­па­да­ет с осью y, а AA₁  — сов­па­да­ет с осью z.

Объем куба  — 27, сле­до­ва­тель­но, его ребро равно 3, а ко­ор­ди­на­ты точек B(0,3,0), C(3,3,0).

Пусть ко­ор­ди­на­ты точки E(x₀, y₀, z₀), тогда

Вы­чтем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­чим от­ку­да это зна­чит, что точка E лежит в плос­ко­сти ABB₁, урав­не­ние ко­то­рой Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что плос­кость EBC па­рал­лель­на оси х так как со­дер­жит пря­мую BC. Зна­чит, рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти EBC равно рас­сто­я­нию до нее от точки A₁ и равно длине пер­пен­ди­ку­ля­ра опу­щен­но­го из A₁ на пря­мую EB. За­ме­тим, что зна­чит, вы­со­та EBCC₁ в два раза боль­ше вы­со­ты EA₁B₁C₁. Каж­дая из них лежит в плос­ко­сти ABB₁ (так как пер­вая вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­на BCC₁, а вто­рая  — A₁B₁C₁). Тогда ко­ор­ди­на­ты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h) или (0, 3 + 2h, 3 + h), где h  — вы­со­та EA₁B₁C₁.

Пусть E'  — про­ек­ция точки E на BB₁. Из тре­уголь­ни­ка BEE':

Таким об­ра­зом, h = 2.

1.  Пусть ко­ор­ди­на­ты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h): E (0, −1, 5). Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой BE в плос­ко­сти ABB₁:

Этому урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ет B (0, 3, 0), то есть Возь­мем от­ку­да урав­не­ние пря­мой

Тогда

2.  Пусть ко­ор­ди­на­ты точки E (0, 3 + 2h, 3 + h): E (0, 7, 5). Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой BE в плос­ко­сти ABB₁:

Этому урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ет B (0, 3, 0), то есть Возь­мем от­ку­да урав­не­ние пря­мой

Тогда

Ответ: б)