В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.
а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.
а) Пусть SO — высота пирамиды SABCDEF. Пусть P — точка пересечения FC и DM. Треугольники ODP и CMP подобны, поскольку прямая OD параллельна MC. Следовательно, OP : PC = OD : MC = 4 : 3. Однако SK : KC = 4 : 3 = OP : PC. Тогда треугольники OSC и PKC подобны, а прямые OS и PK параллельны, следовательно, прямая PK перпендикулярна плоскости ABC. Таким образом, плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания, что и требовалось доказать.
б) С помощью теоремы Пифагора вычислим:
Следовательно,
Далее найдем площадь треугольника MCD:
Вычислим объем пирамиды CDKM:
Ответ: б) 