PDF-версии: 
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА1 равно 7. На ребре СС1 отмечена точка М, причем СМ = 1.
а) Точки О и О1 — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что прямая ОО1 содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВМ.
Решение. а) Пусть точка K — середина ребра AB, а Q — такая точка на MK, что MQ : QK = 2 : 1. Тогда Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, так как делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Очевидно, что проекцией отрезка MK на плоскость ABCбудет отрезок CK, поэтому, так как О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит CK в отношении 2 : 1, точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка T — середина A1B1. Поскольку прямые A1B1 и AB параллельны, то прямая A1B1 и плоскость ABM также параллельны. Заметим, что расстояние от точки A1 до плоскости ABM равно расстоянию от
Рассмотрим треугольник TKM, в котором TK = AA1 = 7. Вычислим:
Таким образом, треугольник TKM — равнобедренный. Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |