PDF-версии: 
На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 198?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 270?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1518?
Решение. а) Пусть на доске написаны числа 6, 36 и 156. Тогда их сумма равна 198.
б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 6, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться
в) Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 6, представимо в виде 5k + 1. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна 1518 = 5m + n. Следовательно, n даёт остаток 3 при делении
Предположим, что 
Сумма тринадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6, равна
Значит, n < 13. следовательно, 
Покажем, что могло быть написано восемь чисел. Например, сумма восьми чисел 6, 36, 66, 96, 126, 156, 186, 846 равна 1518.
Ответ: а) да; б) нет; в) 8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение пункта а; ― обоснованное решение пункта б; ― оценка в пункте в; ― пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |