Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 549037

На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 198?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 270?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1518?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть на доске написаны числа 6, 36 и 156. Тогда их сумма равна 198.

б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 6, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6, равна 6 + 36 + 66 + 96 + 126 = 330. Значит, получить сумму 270 невозможно.

в) Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 6, представимо в виде 5k + 1. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна 1518 = 5m + n. Следовательно, n даёт остаток 3 при делении на 5.

Предположим, что n больше или равно 13. Сумма тринадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6, равна

6 плюс 36 плюс 66 плюс ... плюс 336 плюс 366= дробь: числитель: 13 умножить на левая круглая скобка 6 плюс 366 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =2418 больше 1518

Значит, n <  13. следовательно, n меньше или равно 8.

Покажем, что могло быть написано восемь чисел. Например, сумма восьми чисел 6, 36, 66, 96, 126, 156, 186, 846 равна 1518.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике. Вариант 313