РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 552932 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 329. (часть C)

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $x логарифм по основанию левая круглая скобка 343 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2x минус x в квадрате конец аргумента больше логарифм по основанию 7 x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 49 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка .$

Решение. Неравенство определено при условиях $2x минус x в квадрате больше 0,$ $x в квадрате минус 4x плюс 4 больше 0,$ то есть при $0 меньше x меньше 2.$ Для этих значений переменной, используя формулу $логарифм по основанию левая круглая скобка a в степени m правая круглая скобка b в степени n = дробь: числитель: n, знаменатель: m конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка |a| правая круглая скобка |b|,$ находим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 343 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2x минус x в квадрате конец аргумента = логарифм по основанию левая круглая скобка 7 в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 343 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2x минус x в квадрате конец аргумента = логарифм по основанию левая круглая скобка 7 в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 343 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2x минус x в квадрате конец аргумента =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 7 в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$

$логарифм по основанию левая круглая скобка 49 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 7 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =$
$= логарифм по основанию 7 |x минус 2| \underset0 меньше x меньше 2\mathop= логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 49 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 7 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =$
$= логарифм по основанию 7 |x минус 2| \underset0 меньше x меньше 2\mathop= логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка .$

Правая часть неравенства принимает вид $логарифм по основанию 7 x плюс логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка ,$ откуда, раскладывая на множители и применяя метод рационализации, получаем:

$дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка больше логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка равносильно$

$равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка больше 0 равносильно$

$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка больше 0,0 меньше x меньше 2 конец системы . \undersetx минус 6 меньше 0\mathop равносильно$
$\undersetx минус 6 меньше 0\mathop равносильно система выражений минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше 0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .$ $равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка больше 0,0 меньше x меньше 2 конец системы . \undersetx минус 6 меньше 0\mathop равносильно$
$\undersetx минус 6 меньше 0\mathop равносильно система выражений минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше 0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

552932

$левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 329. (часть C)

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	552932	$левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$