PDF-версии: 
Точка O — центр грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1. На рёбрах AD и C1D1 отмечены соответственно точки M и N так, что DM = D1N = AO.
а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью DCC1 угол 30°.
б) Найдите угол между плоскостями MNO и DCC1.
Решение. а) Примем ребро куба за 2a, тогда
Углом между MN и DCC1 является угол MND, тангенс которого равен
то есть угол MND равен 30°.
б) Пусть прямая MO пересекает ребро BC в точке K, а продолжение ребра DC — в точке L. Очевидно, что 
и тогда 
Пусть 
Из подобия треугольников MDL и KCL имеем
Решая это уравнение, находим 
Следовательно, D1NLC — параллелограмм, то есть отрезок LN параллелен отрезку CD1. Поэтому прямая DC1 перпендикулярна прямой LN и линейным углом между плоскостями MNO и DCC1 будет угол MED, где E — точка пересечения прямых DC1 и NL. Тогда
Тангенс искомого угла равен
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |