Точка O — центр грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1. На рёбрах AD и C1D1 отмечены соответственно точки M и N так, что DM = D1N = AO.
а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью DCC1 угол 30°.
б) Найдите угол между плоскостями MNO и DCC1.
а) Примем ребро куба за 2a, тогда
Углом между MN и DCC1 является угол MND, тангенс которого равен
то есть угол MND равен 30°.
б) Пусть прямая MO пересекает ребро BC в точке K, а продолжение ребра DC — в точке L. Очевидно, что 
и тогда 
Пусть 
Из подобия треугольников MDL и KCL имеем
Решая это уравнение, находим 
Следовательно, D1NLC — параллелограмм, то есть отрезок LN параллелен отрезку CD1. Поэтому прямая DC1 перпендикулярна прямой LN и линейным углом между плоскостями MNO и DCC1 будет угол MED, где E — точка пересечения прямых DC1 и NL. Тогда
Тангенс искомого угла равен
Следовательно, 
Ответ: б) 