Точка O — центр грани ABB1A1 куба ABCDA1B1C1D1. На рёбрах AA1 и C1D1 отмечены соответственно точки M и N так, что A1M = D1N = AO.
а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью A1B1C1 угол 30°.
б) Найдите угол между плоскостями MNO и A1B1C1.
а) Примем ребро куба за 2a, тогда
Углом между MN и A1B1C1 является угол MNA1, тангенс которого равен
то есть угол MNA1 равен 30°.
б) Пусть прямая MO пересекает ребро BB1 в точке K, а продолжение ребра A1B1 — в точке L. Очевидно, что 
и тогда 
Пусть 
Из подобия треугольников MA1L и KB1L имеем
Решая это уравнение, находим 
Следовательно, D1NLB1 — параллелограмм, то есть отрезок LN параллелен отрезку B1D1. Поэтому прямая A1C1 перпендикулярна прямой LN и линейным углом между плоскостями MNO и A1B1C1 будет угол MEA1, где E — точка пересечения прямых A1C1 и NL. Тогда
Тангенс искомого угла равен
Следовательно, 
Ответ: б) 