PDF-версии: 
i
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1.
и 
по параллельным отрезкам. Имеем 
и 
Значит, треугольники 
и 
подобны, причём прямые 
и 
параллельны, прямые 
и 
тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
перпендикулярна плоскости 
опустим перпендикуляр 
из точки 
на прямую EF пересечения этих плоскостей. Угол 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(L — середина 
). Вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём 
то есть 
