На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1.
а) Плоскость EFT пересекает грани 
и 
по параллельным отрезкам. Имеем 
и 
Значит, треугольники 
и 
подобны, причём прямые 
и 
параллельны, прямые 
и 
тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Так как прямая 
перпендикулярна плоскости 
опустим перпендикуляр 
из точки 
на прямую EF пересечения этих плоскостей. Угол 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(L — середина 
). Вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём 
то есть
Тогда тангенс искомого угла равен 
Ответ: б) 