На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 4 : 3. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 5, AD = 8, AA1 = 14.
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
а) Так как 
и 
то 
и 
Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости 
и 
по параллельным прямым, поэтому она пересекает ребро 
в такой точке Q, что прямая TQ параллельна прямой 
Значит, ттреугольники 
и 
подобны, а поскольку 
то и 
Значит, 
и 
б) Так как прямая 
перпендикулярна плоскости 
опустим перпен-
дикуляр 
из точки 
на прямую EQ пересечения этих плоскостей. Угол 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(очевидно, L — середина 
). Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём 
то есть 
Тогда тангенс искомого угла равен 
Ответ: а) 
б) 