На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14.
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
и 
то 
и 
Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости 
и 
по параллельным прямым, поэтому она пересекает ребро 
в такой точке Q, что прямая TQ параллельна прямой 
Значит, треугольники 
и 
подобны, а поскольку 
то и 
Значит, 
и 
перпендикулярна плоскости 
опустим перпендикуляр 
из точки 
на прямую EQ пересечения этих плоскостей. Угол 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(очевидно, L — середина 
). Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём 
то есть 
Тогда 
б) 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 1 : 2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 5, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4, AD = 2, AA1 = 6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 3, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 4 : 3. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 5, AD = 8, AA1 = 14.
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
и 
и 
Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости 
то и 
Значит, 
и 
(очевидно, L — середина 
Тогда тангенс искомого угла равен 
б) 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 3, AD = 2, AA1 = 5.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1.
и 
по параллельным отрезкам. Имеем 
и 
Значит, треугольники 
и 
подобны, причём прямые 
и 
параллельны, прямые 
и 
тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
высоту 
(L — середина 
найдём 
то есть 
