На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
а) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A1D1 или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1, в котором FB1 = B1T = 2. Отсюда EA1 = A1G = 4, значит, точка G совпадает с точкой D1.
б) В плоскости BB1C1 из точки B1 опустим перпендикуляр B1K на отрезок FT. В плоскости EFT из точки K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED1 в точке L. Тогда ∠B1KL — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1 или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB1T находим
Из равнобедренной трапеции EFTD1 находим
Точка L — середина отрезка ED1, поэтому она удалена от сторон AA1 и A1D1 параллелепипеда на 2. Значит, B1L является диагональю параллелепипеда со сторонами 2, 2 и 4. Отсюда 
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим
Заметим, что угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. Углом между прямыми называется меньший из углов, образованных при их пересечении. Для угла B1KL получено отрицательное значение косинуса, следовательно, этот угол является тупым, и углом между плоскостями будет являться смежный с ним угол, для которого значение косинуса положительно.
Ответ: б) 