PDF-версии: 
Плоскость α перпендикулярна диагонали BD1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и проходит через вершину A. При этом 
а) Докажите, что плоскость α делит отрезок DC пополам.
б) Найдите угол между плоскостью α и основанием ABCD, если она проходит через вершину C1.
Решение. а) Пусть M — точка пересечения плоскости α с ребром CD, а точка O — с прямой BD1. Обозначим H — точку пересечения прямых AM и BD. Заметим, что прямая AM перпендикулярна прямой BD1, кроме того, прямая AM перпендикулярна прямой DD1 как прямая, лежащая в основании. Следовательно, прямая AM перпендикулярна плоскости BDD1, а значит, прямая AM перпендикулярна прямой OH. Тогда, так как OH — проекция BH на плоскость α, по теореме о трёх перпендикулярах прямая BH перпендикулярна прямой AM. Значит,
следовательно, 
откуда
Значит, точка M — середина отрезка CD.
б) В п. а) было показано, что прямая OH перпендикулярна прямой AM, прямая BH перпендикулярна прямой AM, следовательно, угол OHB — линейный угол угла между плоскостью основания и плоскостью α. Найдём его. Пусть точка N — точка пересечения плоскости α с ребром B1D1. Тогда по свойствам сечений прямые AM и NC1 параллельны, следовательно, точка N — середина B1D1. Очевидно, что отрезок MN проходит через центр параллелепипеда, через него же проходит и диагональ BD1, следовательно, это точка O — точка пересечения диагонали BD1 и плоскости α.
Обозначим a = AD = BC, h = BB1. Тогда: 
Из прямоугольных треугольников NBB1 и BON вычислим квадрат длины отрезка BN двумя способами, получим равенство:
Прямоугольные треугольники BHO и BDD1 подобны, следовательно, угол OHB равен углу BD1D, при этом
поэтому, 
Ответ: б) 60°.
Примечание.
Читателю будет полезно сравнить решение этой задачи с задачами 634951 и 556601.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |