а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­го­на­ли BD₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ и про­хо­дит через вер­ши­ну A. При этом

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит от­ре­зок DC по­по­лам.

б)   Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и ос­но­ва­ни­ем ABCD, если она про­хо­дит через вер­ши­ну C₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Точка F лежит на его сто­ро­не AD, причём пря­мые BF и CD па­рал­лель­ны, и пря­мые CF и AB па­рал­лель­ны.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки BF и CF раз­би­ва­ют четырёхуголь­ник ABCD на три по­доб­ных тре­уголь­ни­ка.

б)  Из­вест­но, что AF  =  1, DF  =  4. Най­ди­те BC.

15‐го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S руб­лей на n ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну A мень­ше долга на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Най­ди­те n, S, A и общую сумму вы­плат после по­га­ше­ния кре­ди­та D, если из­вест­но, что четвёртая вы­пла­та со­ста­вит 17 700 руб­лей, а де­вя­тая вы­пла­та  — 16 200 руб­лей.

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

боль­ше 1.

За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое‐⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 56, 84, 168?

в)  Из­вест­но, что набор на доске со­сто­ит ровно из 31 числа и имеет вид 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, … , 1080, то есть из­вест­ны семь пер­вых и одно по­след­нее числа на­бо­ра. При­ве­ди­те все воз­мож­ные при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел.