Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные произведения (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 56, 84, 168?
в) Известно, что набор на доске состоит ровно из 31 числа и имеет вид 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, … , 1080, то есть известны семь первых и одно последнее числа набора. Приведите все возможные примеры задуманных чисел.
а) Например, подойдет набор 2, 2, 2, 2, 3.
б) Ясно, что самое большое выписанное число — это произведение всех задуманных чисел. Кроме того, среди произведений задуманных есть 4. Тогда произведение всех чисел, кроме составляющих его, равно 168 : 4 = 42, но оно не выписано.
в) Как и в предыдущем пункте, 1080 = 23 · 33 · 5 — это произведение всех задуманных чисел, поэтому все остальные числа суть его делители. С другой стороны, оно имеет всего (3 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 32 делителя, среди которых есть 1 (оно не выписано). Значит, выписаны все остальные делители.
Среди задуманных точно нет единицы (она не выписана), точно есть 2, 3, 5 — это простые числа, они по-другому не получатся — и либо есть 4, либо еще 2 и 2, поскольку иначе не получить 4 и 8. Аналогично есть еще либо 9, либо 3 и 3. Любой такой набор подходит, поскольку позволяет получить любую степень двойки от 0 до 3, тройки от 0 до 3 и взять или не взять в произведение пятерку. Итак, годятся следующие 4 набора:
2, 2, 2, 3, 3, 3, 5;
2, 4, 3, 3, 3, 5;
2, 2, 2, 3, 9, 5;
2, 4, 3, 9, 5.
Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 3; б) нет; в) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5; 2, 4, 3, 3, 3, 5; 2, 2, 2, 3, 9, 5; 2, 4, 3, 9, 5.